Question

设函数e^x|lnx|=1两个不同的实根为x₁，x₂，则（　　）

• A、x₁x₂＜0
• B、x₁x₂=1
• C、0＜x₁x₂＜1
• D、x₁x₂＞1

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由题意f（x）=e^-x-|lnx|的零点，即方程e^-x=|lnx|的实数根．因此在同一坐标系内作出函数y=e^-x与y=|lnx|的图象，并设
x₁＜x₂，可得lnx₂＜-lnx₁，推出x₁x₂＜1．再根据x₁＞

1

e

且x₂＞1得到x₁x₂＞

1

e

，由此即可得到本题的答案．

解答： 解：函数f（x）=e^-x-|lnx|的零点，即方程e^-x=|lnx|的实数根
同一坐标系内作出函数y=e^-x与y=|lnx|的图象，如图所示
不妨设x₁＜x₂，可得0＜x₁＜1且x₂＞1
∵0＜-lnx₁＜1，∴lnx₁＞-1，可得x₁＞

1

e

∵x₂＞1，∴x₁x₂＞

1

e

又∵y=e^-x是减函数，可得lnx₂＜-lnx₁，
∴lnx₂+lnx₁＜0，得lnx₁x₂＜0，即x₁x₂＜1
综上所述，可得

1

e

＜x₁x₂＜1
故选：C

点评：本题给出含有指数和对数的基本初等函数，求函数的两个零点满足的条件，着重考查了指数函数、对数函数的图象与性质，以及函数的零点与方程根的关系等知识点，属于中档题．