Question

正项数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，又{

anan+1

}是以

1

2

为公比的等比数列，则使得不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＞2014成立的最小整数n为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：确定数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，

1

4

为公比的等比数列，数列{a_2n}是以a₂=2为首项，

1

4

为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可求得结论．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，∴

a1a2

=

2

．
又{

anan+1

}是以

1

2

为公比的等比数列
∴

anan+1

=

2

•（

1

2

）^n-1，
∴a_na_n+1=2•（

1

2

）^2n-2，∴

an+2an+1

an+1an

=

an+2

an

=

1

4

，
∴数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴a_2n-1=(

1

4

)n-1，

1

a2n-1

=4^n-1，
数列{a_2n}是以a₂=2为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴a_2n=2•(

1

4

)n-1，

1

a2n

=

1

2

•4n-1，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

=（4⁰+4+4²+…+4ⁿ）+

1

2

（4+4²+…+4^n-1）
=

1-4n+1

1-4

+

1

2

×

4(1-4n-1)

1-4

=

3

2

×4n-1，
∵

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＞2014，
∴

3

2

×4n-1＞2014，4 n ＞

4030

3

≈1343，
∵4⁵=1024，4⁶=4096，
∴最小整数n为6．
故答案为：6．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分奇数和偶数项分别为等比数列的数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．