Question

15．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）+f（x）=0，且x＞0时，f（x）=（1-x）e^x，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：x＞0时，f（x）=（1-x）e^x，
f′（x）=-xe^x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递减，
又f（-x）+f（x）=0，
∴f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，0）递减，
又f（-1）=-f（1）=0，
∴xf（x）＞0时，x∈（-1，0）∪（0，1），
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，是一道中档题．