Question

4．关于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，有下列三个命题：
①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$；
②若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$；
③$\overrightarrow{a}$=（-1，1）在$\overrightarrow{b}$=（3，4）方向上的投影为$\frac{1}{5}$；
④非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
其中真命题的序号为②③（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①当$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$时，结论不成立，
②根据向量数量积的公式进行化简即可，
③根据向量投影的定义进行计算即可，
④根据向量加法和加法的几何意义进行判断即可．

解答 解：①当$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$时，满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，但$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$不一定成立，故①错误；
②若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，则|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=|1，则＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=180°|，即$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$成立．故②正确，
③$\overrightarrow{a}$=（-1，1）在$\overrightarrow{b}$=（3，4）方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3+4}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{1}{5}$；故③正确，
④设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
以OA OB为邻边，作平行四边形OACB，则 $\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，∠AOC为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角．
由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，可得△OAB 为等边三角形，故平行四边形OACB为菱形，
∴∠AOC=30°
则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为30°．故④错误，
故答案为：②③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及平面向量的有关概念和运算，以及数量积的公式，考查学生的运算和推理能力．