Question

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度．已知曲线C：ρ=a（a＞0），过点P（0，2）的直线l的参数方程为

x= t 2 y=2+ 3 2 t

（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换

x′=2x y′=y

得到曲线C′，若直线l与曲线C′相切，求实数a的值．

Answer 1

考点：直线的参数方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（Ⅱ）确定曲线C′，与直线l联立，利用△=0，即可求实数a的值．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C：ρ=a（a＞0），直角坐标方程为曲线C：x²+y²=a²，
过点P（0，2）的直线l的参数方程为

x= t 2 y=2+ 3 2 t

（t为参数），普通方程为直线l：y=

3

x+2．…..…．…（5分）
（Ⅱ）

x′=2x y′=y

，即

x= x′ 2 y=y′

，代入

x′2

4

+y′2=a²，即

x2

4

+y2=a²，
与直线l联立，消去y，得13x²+16

3

x+16-4a²=0，
由△=0知，a²=

4

13

，∴a=

2 13

13

．…．…（10分）

点评：本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．