【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求证:
;
(2)对任意,存在
,使
成立,求
的取值范围.(其中
是自然对数的底数,
)
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数
的最大值,证明结论即可;
(2)问题转化为, 设
,求导,利用单调性求范围即可.
试题解析:
解:(1)当时,
,
则,令
,得
,
当时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减,
故当时,函数
取得极大值,也为最大值,所以
,
所以,得证.
(2)原题即对任意,存在
,使
成立,
只需,
设,则
,
令,则
对于
恒成立,
所以为
上的增函数,
于是,即
对于
恒成立,
所以为
上的增函数,则
,
令,则
,
当时,
为
的减函数,且其值域为
,符合题意.
当时,
,由
得
,
由得
,则
在
上为增函数;由
得
,则
在
上为减函数,所以
,从而由
,解得
,综上所述,
的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄(单位:岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至少有1人年龄在[55,65)的概率.
参考数据如下:
附临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值:
(其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x , x+2,10﹣x}(x≥0),则f(x)的最大值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段: ,
,…,
,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中实数的值;
(2)若该校高一年级共有640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;
(3)若从数学成绩在与
两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若直线a上的所有点到两条直线m、n的距离都相等,则称直线a为“m、n的等距线”.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是所在棱中点,M、N分别为EH、FG中点,则在直线MN,EG,FH,B1D中,是“A1D1、AB的等距线”的条数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴)中,点
的极坐标为
,判断点
与曲线
的位置关系;
(2)设点是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.
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