Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，1），$\overrightarrow{b}$=（4-n，2），m＞0，n＞0，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow b$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$的最小值$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow b$，可得：n+2m=4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow b$，∴4-n-2m=0，即n+2m=4．
∵m＞0，n＞0，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$=$\frac{1}{4}$（n+2m）$（\frac{1}{m}+\frac{8}{n}）$=$\frac{1}{4}$$（10+\frac{n}{m}+\frac{16m}{n}）$≥$\frac{1}{4}$$（10+2\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{16m}{n}}）$=$\frac{9}{2}$，当且仅当n=4m=$\frac{8}{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$的最小值是$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．