Question

17．已知正数数列{a_n}满足：数列{a_2n-1}是首项为1的等比数列，数列{a_2n}是首项为2的等差数列．设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），已知S₃=a₄，a₂+a₃+a₅=a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前2m项和S_2m．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_2n-1}是首项为1，公比为q的等比数列，数列{a_2n}是首项为2，公差为d的等差数列，运用等比数列和等差数列的通项公式，列方程，解得q，d，即可得到通项公式；
（2）运用数列的求和方法：分组求和，由等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到．

解答 解：（1）设数列{a_2n-1}是首项为1，公比为q的等比数列，
数列{a_2n}是首项为2，公差为d的等差数列，
由S₃=a₄，a₂+a₃+a₅=a₆．
即有3+q=2+d，2+q+q²=2+2d，
解得q=2，d=3或q=-1，d=0（舍去），
则有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{k-1}，n=2k-1}\\{3k-1，n=2k}\end{array}\right.$；
（2）S_2m=（a₁+a₃+a₅+…+a_2m-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2m）
=（1+2+4+…+2^m-1）+[2+5+8+…+（3m-1）]
=$\frac{1-{2}^{m}}{1-2}$+$\frac{m（2+3m-1）}{2}$
=2^m-1+$\frac{3}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，注意运用分组求和，属于中档题．