Question

9．已知函数f（x）=|x-1|，设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1（f（x））（n＞1，n∈N^*），令函数F（x）=f_n（x）-m，若m∈（0，1）时，函数F（x）有且只有8各不同的零点，这8个零点按从小到大的顺序分别记为x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆、x₇、x₈，则x₁x₂x₅x₆+x₃x₄x₇x₈的取值范围是（-6，16）．

Answer 1

分析 由题意作函数f_n（x）的图象，再设x₄=x，x∈（0，1）；从而可得x₃=-x，x₂=x-2，x₁=-x-2，x₅=-x+2，x₆=x+2，x₇=-x+4，x₈=x+4；从而化简即可．

解答 解：由题意，作f_n（x）的图象如下，

结合图象可得，
设x₄=x，x∈（0，1）；则x₃=-x，x₂=x-2，x₁=-x-2，
x₅=-x+2，x₆=x+2，x₇=-x+4，x₈=x+4；
故x₁x₂x₅x₆+x₃x₄x₇x₈=（-x-2）（x-2）（-x+2）（x+2）+（-x）x（-x+4）（x+4）
=（4-x²）²-x²（16-x²）=2（x²）²-24x²+16=2（x²-6）²-56
∵x∈（0，1），
∴x²-6∈（-6，-5），
∴50＜2（x²-6）²＜72，
∴-6＜2（x²-6）²-56＜16，
故x₁x₂x₅x₆+x₃x₄x₇x₈的取值范围是（-6，16）；
故答案为：（-6，16）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用，属于基础题．