Question

20．已知函数f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x²+1，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=-3x²+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax³-3x²+1在（-∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax³-3x²+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax³-3x²+1在（-∞，0）上没有零点；
而当x=$\frac{2}{a}$时，f（x）=ax³-3x²+1在（-∞，0）上取得最小值；
故f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{8}{{a}^{2}}$-3•$\frac{4}{{a}^{2}}$+1＞0；
故a＜-2；
综上所述，
实数a的取值范围是（-∞，-2）；
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．