Question

19．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）写出a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）由（1）写出数列{a_n}的一个通项公式；
（3）判断实数$\frac{1}{2015}$是否为数列{a_n}中的一项？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系式直接a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）利用所求各项，直接写出数列{a_n}的一个通项公式；
（3）利用通项公式判断实数$\frac{1}{2015}$是否为数列{a_n}中的一项，n是正整数则是数列的项，否则不是数列的项．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由已知可得${a_2}=\frac{1}{4}，{a_3}=\frac{1}{6}，{a_4}=\frac{1}{8}，{a_5}=\frac{1}{10}$；  （4分）
（2）由（1）可得数列{a_n}的一个通项公式为${a_n}=\frac{1}{2n}$； （8分）
（3）令$\frac{1}{2n}=\frac{1}{2015}$，解得n=1007.5，（10分）
因为n∈N^*，所以n=1007.5不合题意，故$\frac{1}{2015}$不是数列{a_n}中的一项．（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的函数的特征，考查计算能力．