Question

7．某产品的广告费用支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：

x/百万元	2	4	5	6	8
y/百万元	30	40	60	50	70

（1）求y与x之间的回归直线方程；（参考数据：2²+4²+5²+6²+8²=145，2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380）
（2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（2）把所给的广告费支出为1千万元时，代入线性回归方程，可估算出对应的销售额．

解答 解：（1）$\overline{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5$，（1分）
$\overline{y}=\frac{30+40+60+50+70}{5}=50$，（2分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380}$，（3分）
$\sum_{i=1}^5{x_i^2={2^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}+{8^2}=145}$，（4分）
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}=6.5$，（6分）
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=50-6.5×5=17.5$，（8分）
所以回归直线方程为$\hat y=6.5x+17.5$．（9分）
（2）当x=10时，$\hat y=6.5×10+17.5=82.5$（百万元），
即当广告费用支出为1千万元时，销售额约是8.25千万元．（12分）

点评 本题考查求线性回归方程，是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心．