Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，c=1，sin2A=sinC，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理以及倍角公式先求出cosA，然后结合余弦定理求出b，利用向量的定义进行求解．

解答 解：∵sin2A=sinC，
∴2sinAcosA=sinC，
即cosA=$\frac{sinC}{2sinA}=\frac{c}{2a}$=$\frac{1}{6}$，
又a²=b²+c²-2bccosA，
即9=b²+1-2b×1×$\frac{1}{6}$，
即3b²-b-24=0，
解得b=3或b=-$\frac{8}{3}$（舍），
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccosA=3×$1×\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查平面向量数量积的计算，利用正弦定理和余弦定理求出cosA和b是解决本题的关键．