Question

设函数f（x）=lnx-cx（c∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤x²恒成立，求c的取值范围；
（Ⅲ）设f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证x₁•x₂＞e²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．
（Ⅱ）将不等式f（x）≤x²恒成立进行转化为求函数的最值问题，利用导数即可求c的取值范围；
（Ⅲ）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-cx，∴x＞0，
f′（x）=

1

x

-c=

1-cx

x

．
当c≤0时，f（x）单调增区间为（0，+∞）．
当c＞0时，f（x）单调增区间为（0，

1

c

），f（x）单调减区间为（

1

c

，+∞）
（ II）∵f（x）≤x²，∴lnx-cx≤x²，
∴c≥

lnx

x

-x．
设g（x）=

lnx

x

-x，∴g′（x）=

1-lnx-x2

x2

，
∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
∴g（x）的最大值为g（1）=-1，∴c≥-1．
（III）∵f（x）有两个相异零点，∴设lnx₁=cx₁，lnx₂=cx₂，①
即lnx₁-lnx₂=c（x₁-x₂），
∴

lnx1-lnx

x1-x2

=c，②
而x₁•x₂＞e²，等价于：lnx₁+lnx₂＞2，即c（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：

lnx1-lnx2

x1-x2

（x₁+x₂）＞2，
不妨设x₁＞x₂＞0，则t=

x1

x2

＞1，
上式转化为：lnt＞

2(t-1)

t+1

，t＞1
设H（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1，
则H′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

成立，
故所证不等式x₁•x₂＞e²成立．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研究函数的最值和零点问题，综合性较强，运算量较大．