Question

已知等差数列{a_n}的首项为10，公差为2，数列{b_n}满足b_n=

n

2

a_n-6n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=max{a_n，b_n}，求数列{c_n}的前n项和S_n．（注：max{a，b}表示a与b的最大值．）

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列通项公式求出a_n=2n+8，bn=

n

2

an-6n=

n

2

•(2n+8n)-6n=n2-2n．
（2）bn-an=(n2-2n)-(2n+8)=n2-4n-8，由此进行分类讨论能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是以10为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=10+2（n-1）=2n+8，
∴bn=

n

2

an-6n=

n

2

•(2n+8n)-6n=n2-2n．
（2）bn-an=(n2-2n)-(2n+8)=n2-4n-8，
令bn-an=0⇒n2-4n-8=0，
解得n=2±2

3

，
∴当1≤n＜2+2

3

时，b_n-a_n＜0，即a_n＞b_n，
∴当n≤5且n∈N^*时，c_n=max{a_n，b_n}=a_n=2n+8，
当n≥6且n∈N^*时，a_n＜b_n，
cn=max{an，bn}=bn=n2-2n，
当n≤5且n∈N^*时，
Sn=c1+c2+…+cn=a1+a2+…+an=

n(a1+an)

2

=

n•(10+2n+8)

2

=n2+9n，
∴S5=52+9×5=70，
当n≥6且n∈N^*时，
Sn=S5+(b6+b7+…+bn)=70+[(62-2×6)+(72-2×7)+…+(n2-2n)]
=70+（6²+7²+…+n²）-2×（6+7+…+n）
=70+[(12+22+…+n2)-(12+22+32+42+52)]-2×

(6+n)(n-5)

2

=70+

n(n+1)(2n+1)

6

-55-(n+6)(n-5)
=

n(n+1)(2n+1)

6

-(n2+n-30)+25
=

1

3

n3-

1

2

n2+

5

6

n+45，
∴S_n=

cn2+9n，n≤5 1 3 n3- 1 2 n2+ 5 6 n+45，n＞5

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．