Question

已知数列{a_n}是公差为-2的等差数列，a₆是a₁+2与a₃的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得

a

2 6

=(a1+2)a3，即(a1-10)2=(a1+2)(a1-4)，由此能求出a_n=8-2n．
（Ⅱ）由已知条件推导出数列{a_n}的前3项大于零，第4项等于零，以后各项均小于零．所以当n=3或n=4时S_n取得最大值．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为a₆是a₁+2与a₃的等比中项，
所以

a

2 6

=(a1+2)a3．（2分）
因为数列{a_n}是公差为-2的等差数列，
所以(a1-10)2=(a1+2)(a1-4)，（4分）
解得a₁=6．（6分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=6-2（n-1）=8-2n．（8分）
（Ⅱ）解a_n≥0，即8-2n≥0，得n≤4，（10分）
故数列{a_n}的前3项大于零，第4项等于零，以后各项均小于零．
所以，当n=3或n=4时，S_n取得最大值．（11分）
S3=S4=

4

2

(a1+a4)=12．
所以S_n的最大值为12．（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．