Question

在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，∠DBC=30°，AD=2，BD=2

2

，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-BM-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以C为原点，CD、CB、CZ分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PQ∥平面BCD．
（Ⅱ）分别求出平面BMC的法向量和平面BMD的法向量，利用向量法能求出二面角C-MN-D的大小．

解答： （Ⅰ）证明：以C为原点，CD、CB、CZ分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
∵在Rt△ABC中，∠BCD=90°，且BD=2

2

，∴CD=

2

，CB=

6

，
 则B（0，

6

，0），D（

2

，0，0），A（

2

，0，2），M（

2

，0，1），
P（

2

2

，

6

2

，

1

2

），Q（

2

4

，0，

1

2

），

PQ

=(-

2

4

，-

6

2

，0)，
平面BCD的法向量

n

=(0，0，1)，
∵

PQ

•

n

=0，∴

PQ

⊥

n

，
∵PQ不包含于平面BCD，
∴PQ∥平面BCD．
（Ⅱ）解：∵

CB

=（0，

6

，0），

CM

=(

2

，0，1)，
设平面BMC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CB = 6 y=0 n • CM = 2 x+z=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，-

2

)，

DB

=(-

2

，

6

，0)，

DM

=(0，0，1)，
设平面BMD的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • DB =- 2 a+ 6 b=0 m • DM =c=0

，
取a=

6

，得

m

=(

6

，

2

，0)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

6

3 •2 2

=

1

2

，
∴＜

m

，

n

＞=60°，
∴二面角C-MN-D的大小为60°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．