Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=

1

2

CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面BCE，△BCE为等边三角形，M，F分别是BE，BC的中点，DN=

1

4

DC．
（1）证明：EF⊥AD；
（2）证明：MN∥平面ADE；
（3）若AB=1，BC=2，求几何体ABCDE的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出EF⊥BC，进而根据面面垂直的性质判断出EF⊥平面ABCD，最后根据线面垂直的性质证明出EF⊥AD．
（2）取AE中点G，连接MG，DG，先证明出四边形DGMN是平行四边形，推断出DG∥MN，进而根据线面平行的判定定理证明出MN∥平面ADE．
（3）利用梯形面积公式求得底面面积，进而在三角形△BCE中求得EF，最后求得体积．

解答： （1）证明：∵△BCE为等边三角形，F是BC的中点，
∴EF⊥BC，
又∵平面ABCD⊥平面BCE，交线为BC，EF?平面BCE
∴EF⊥平面ABCD；             
又∵AD?平面ABCD，
∴EF⊥AD．

（2）证明：取AE中点G，连接MG，DG，
∵AG=GE，BM=ME，
∴GM∥AB，且GM=

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=

1

2

CD，DN=

1

4

DC，
∴DN∥AB，且DN=

1

2

AB，
∴四边形DGMN是平行四边形，
∴DG∥MN，
又∵DG?平面ADE，MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE
（3）依题，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，CD=2，BC=2
则直角梯形ABCD的面积为S梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)×BC=

1

2

(1+2)×2=3，
由（1）可知EF⊥平面ABCD，即EF是四棱锥E-ABCD的高
在等边△BCE中，由边长BC=2，得EF=2×sin600=

3

，
故几何体ABCDE的体积为V E-ABCD=

1

3

•S梯形ABCD•EF=

1

3

×3×

3

=

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理的应用．考查了学生分析能力和空间观察能力．