Question

7．若函数g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2alnx在[1，2]上是减函数，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，-$\frac{7}{2}$]
• D． （-∞，-$\frac{7}{2}$）

Answer 1

分析 可求导数得到$g′（x）=-\frac{2}{{x}^{2}}+2x+\frac{2a}{x}$，根据条件即可得出$a＜-{x}^{2}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立，而可设$f（x）=-{x}^{2}+\frac{1}{x}$，通过求导数，根据导数符号即可判断f（x）在[1，2]上的单调性，根据单调性即可求出f（x）在[1，2]上的最小值，从而求出a的取值范围．

解答 解：$g′（x）=-\frac{2}{{x}^{2}}+2x+\frac{2a}{x}$；
∵g（x）在[1，2]上是减函数；
∴$-\frac{2}{{x}^{2}}+2x+\frac{2a}{x}＜0$；
∴$a＜-{x}^{2}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立；
设$f（x）=-{x}^{2}+\frac{1}{x}$，则$f′（x）=-2x-\frac{1}{{x}^{2}}＜0$；
∴f（x）在[1，2]上单调递减；
∴f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=$-\frac{7}{2}$；
∴$a＜-\frac{7}{2}$；
即a的取值范围为$（-∞，-\frac{7}{2}）$．
故选：D．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及基本初等函数导数的求法，不等式的性质，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法．