Question

16．已知平面向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow b}$|=1，|${\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$|=2$\sqrt{3}$，则|$\overrightarrow a}$|=2．

Answer 1

分析 根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow b}$|=1，|${\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$|=2$\sqrt{3}$，
∴平方得|${\overrightarrow a$|²+4|$\overrightarrow b}$|²+4${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$=12，
即|${\overrightarrow a$|²+4+4|${\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b}$|cos$\frac{π}{3}$=12，
即|${\overrightarrow a$|²+2|${\overrightarrow a$|-8=0，
则（|${\overrightarrow a$|-2）（|${\overrightarrow a$|+4）=0，
则|${\overrightarrow a$|=2，或|${\overrightarrow a$|=-4，（舍）
故答案为：2．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量模长的关系利用平方法转化为一元二次方程是解决本题的关键．