Question

4．已知函数f（x）=|x-a|+|${\frac{1}{2}$x+1|的最小值为2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若a＞0，求不等式f（x）≤4的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，利用函数f（x）=|x-a|+|${\frac{1}{2}$x+1|的最小值为2，建立方程求实数a的值；
（Ⅱ）由题意，a=2，不等式f（x）≤4，即|x-2|+|${\frac{1}{2}$x+1|≤4，结合图象求不等式f（x）≤4的解集．

解答 解：（Ⅰ）a≥-2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+1-a，x≥a}\\{-\frac{1}{2}x+1+a，-2≤x≤a}\\{-\frac{3}{2}x+a-1，x≤-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）_min=1+$\frac{a}{2}$=2，∴a=2；
a≤-2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+1-a，x≥-2}\\{\frac{3}{2}x-a-1，a≤x≤-2}\\{-\frac{3}{2}x+a-1，x≤a}\end{array}\right.$，
∴f（x）_min=-1-$\frac{a}{2}$=2，∴a=-6；
（Ⅱ）由题意，a=2，不等式f（x）≤4，即|x-2|+|${\frac{1}{2}$x+1|≤4
x＞2时，$\frac{3}{2}$x-1=4，
∴x=$\frac{10}{3}$，-$\frac{1}{2}x+3=4$，
∴x=-2，
∵|x-2|+|${\frac{1}{2}$x+1|≤4，
∴不等式的解集为[-2，$\frac{10}{3}$]．

点评 本题考查绝对值函数，考查绝对值不等式的解法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．