Question

5．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过原点的直线与椭圆交于A、B两点，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，则椭圆离心率e的取值范围为（　　）

• A． [$\sqrt{3}$-1，$\frac{2}{3}$]
• B． [$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• C． [2-$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$]
• D． [2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 通过设椭圆的左焦点为F′，连接AF′、BF′构造矩形AFBF′，用α的三角函数值表示|AF|、|BF|，进而利用离心率公式计算即得结论．

解答 解：设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形．
因此|AB=|FF′|=2c，
∵|AF|+|BF|=2a，|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα，
∴2csinα+2ccosα=2a，′
∴e=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
又∵α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，
∴α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$]，sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$]，
∵$\frac{1}{e}$=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]，
∴e∈[$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．