Question

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知sinB-sinC=$\frac{1}{4}$sinA，2b=3c，则cosA=$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知可得b=$\frac{3c}{2}$，又利用正弦定理可得b-c=$\frac{1}{4}$a，进而可得：a=2c，利用余弦定理即可解得cosA的值．

解答 解：在△ABC中，∵2b=3c，
∴可得：b=$\frac{3c}{2}$，
∵sinB-sinC=$\frac{1}{4}$sinA，
∴由正弦定理可得：b-c=$\frac{1}{4}$a，可得：$\frac{3c}{2}$-c=$\frac{1}{4}$a，整理可得：a=2c，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{9{c}^{2}}{4}+{c}^{2}-4{c}^{2}}{2×\frac{3c}{2}×c}$=$-\frac{1}{4}$．
故答案为：$-\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．