Question

已知函数f（x）=ax-1n（1+x²）
（1）当a=

4

5

时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）证明：当x＞0时，1n（1+x²）＜x；
（3）证明：(1+

1

24

)(1+

1

34

)…(1+

1

n4

)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析：（1）当a=

4

5

时，先求出f′（x）=

4

5

-

2x

1+x2

=

4x2-10x+4

5(1+x2)

，再由f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=2，由此能求出当a=

4

5

时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值．
（2）令g（x）=x-ln（1+x²），g′(x)=1-

2x

1+x2

=

(x-1)2

1+x2

≥0，故g（x）在（0，+∞）上是增函数，由此能够证明当x＞0时，1n（1+x²）＜x．
（3）由ln（x²+1）＜x，取x=

1

22

，

1

32

，…，

1

n2

，能够证明(1+

1

24

)(1+

1

34

)…(1+

1

n4

)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数）．

解答：（1）解：当a=

4

5

时，f（x）=

4

5

x-ln(1+x2)，
∴f′（x）=

4

5

-

2x

1+x2

=

4x2-10x+4

5(1+x2)

，
由f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=2，
∵f（x）在（0，

1

2

）上递增，在（

1

2

，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）极大值为f（

1

2

）=

2

5

-ln

5

4

，f（x）极小值为f（2）=

8

5

-ln5．
（2）证明：令g（x）=x-ln（1+x²），
g′(x)=1-

2x

1+x2

=

(x-1)2

1+x2

≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ln（1+x²）＜x．
（3）证明：由（2）得ln（x²+1）＜x，
取x=

1

22

，

1

32

，…，

1

n2

，
∴ln（1+

1

24

）+ln（1+

1

34

）+…+ln（1+

1

n4

）
＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=1-

1

n

＜1，
∴(1+

1

24

)(1+

1

34

)…(1+

1

n4

)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数）．

点评：本题考查函数的极值的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，具有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．