Question

动点P到两点（

3

，0），（-

3

，0）的距离和为4；动点Q在动圆C₁：x²+y²=r²（1＜r＜4）上．
（1）求动点P的轨迹C₂的方程；
（2）若直线PQ与C₁和C₂均只有一个交点，求线段PQ长度的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得动点P的轨迹C₂的方程以（

3

，0），（-

3

，0）为焦点的椭圆，由此能求出点P的轨迹C₂的方程．
（2）若直线PQ的斜率不存在，则|PQ|=0，若直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m，由直线PQ与C₂相切，切点为P，由

y=kx+m x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，又PQ与圆C₁相切，得

|m|

k2+1

=r，由此求出k2=

r2-1

4-r2

，PQ²=OP²-r²=x12+y12-r2≤1，由此能求出|PQ|的最大值为1．

解答： 解：（1）∵动点P到两点（

3

，0），（-

3

，0）的距离和为4，4＞2

3

，
∴动点P的轨迹C₂的方程以（

3

，0），（-

3

，0）为焦点的椭圆，
且2a=4，2c=2

3

，
解得a=2，c=

3

，b=

4-3

=1，
∴点P的轨迹C₂的方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）若直线PQ的斜率不存在，则|PQ|=0，
若直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m，
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由直线PQ与C₂相切，切点为P，
由

y=kx+m x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∴m²=4k²+1，x1=-

4k

m

，①
又PQ与圆C₁相切，得

|m|

k2+1

=r，即m²=r²（k²+1），②
由①②，得：k2=

r2-1

4-r2

，
且PQ²=OP²-r²=x12+y12-r2
=x12+1-

x12

4

-r2
=1+

3x12

4

-r2
=1+

12k2

4k2+1

-r2
=5-(r2+

4

r2

)≤5-4=1，
当且仅当r²=2，即r=

2

∈（1，4）时取得等号，
于是|PQ|的最大值为1．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查线段长度最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．