Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上三个动点P，M，N满足：$\overrightarrow{OP}$=2λ$\overrightarrow{OM}$+3μ$\overrightarrow{ON}$，其中O为原点，直线0M与0N的斜率之积为-$\frac{9}{4}$，试判断是否存在两个定点A，B，使点Q（λ，μ）满足|QA|+|QB|=1．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，再由向量的坐标运算，运用两边平方法，化简整理可得4λ²+9μ²=1，结合椭圆的定义，即可得到所求定点A，B．

解答 解：设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1，
且$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{9}{4}$，（*）
由$\overrightarrow{OP}$=2λ$\overrightarrow{OM}$+3μ$\overrightarrow{ON}$，可得
x₀=2λx₁+3μx₂，y₀=2λy₁+3μy₂，
即有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}$=$\frac{4{λ}^{2}{{x}_{1}}^{2}+9{μ}^{2}{{x}_{2}}^{2}+12λμ{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+$\frac{4{λ}^{2}{{y}_{1}}^{2}+9{μ}^{2}{{y}_{2}}^{2}+12λμ{y}_{1}{y}_{2}}{9}$
=4λ²（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$）+9μ²（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$）+12λμ（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{9}$）=1，
将（*）代入上式，可得4λ²+9μ²=1，
可得Q的轨迹为椭圆$\frac{{λ}^{2}}{\frac{1}{4}}$+$\frac{{μ}^{2}}{\frac{1}{9}}$=1．
故存在两定点A，B，即为椭圆的焦点，且为（-$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{9}}$，0），（$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{9}}$，0），
即（-$\frac{\sqrt{5}}{6}$，0），（$\frac{\sqrt{5}}{6}$，0）使得|QA|+|QB|=2a=1．

点评 本题考查椭圆的定义、方程及运用，注意运用向量的坐标表示和点满足椭圆方程，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．