Question

19．已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（c∈I），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点．
（1）判断函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-1，0≤x＜1\\{log_2}x，x≥1\end{array}$在区间（0，+∞）内是否具有唯一零点，并说明理由；
（2）已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n\;}$=（sin2x，cos2x），x∈（0，π），证明f（x）=$\overrightarrow{m\;}•\overrightarrow{n\;}$+1在区间（0，π）内具有唯一零点；
（3）若函数f（x）=x²+2mx+2m在区间（-2，2）内具有唯一零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数，分类讨论函数的单调性，从而得出结论．
（2）两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的性质得出结论．
（3）利用二次函数的性质，分类讨论，求得m的范围．

解答 解：（1）函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-1，0≤x＜1\\{log_2}x，x≥1\end{array}\right.$在区间（0，+∞）内具有唯一零点．  
理由：当x=1时，有f（1）=0，且当0＜x＜1时，有f（x）=x²-1＜0；当x＞1时，f（x）=log₂x是增函数，有f（x）=log₂x＞log₂1=0．  
（2）因为$\overrightarrow{m\;}•\overrightarrow{n\;}+1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+1=sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，f（x）=0的解集为$A=\left\{{x\left|{x=kπ-\frac{π}{3}，k∈Z}\right.}\right\}$．
因为I=（0，π），∴$A∩I=\left\{{\frac{2}{3}π}\right\}$，所以在区间（0，π）内有且只有一个实数$\frac{2}{3}π$，使得$f（\frac{2}{3}π）=0$成立，
因此$f（x）=\overrightarrow{m\;}•\overrightarrow{n\;}+1$在开区间（0，π）内具有唯一零点．
（3）函数f（x）=x²+2mx+2m在开区间（-2，2）内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x=-m．
以下分-m与区间（-2，2）的位置关系进行讨论．
①当-m≤-2即m≥2时，f（x）=x²+2mx+2m在开区间（-2，2）是增函数，只需$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.$，解得m＞2．
②当-2＜-m＜2即-2＜m＜2时，若使函数在开区间（-2，2）内具有唯一零点，2m-m²＜0，所以m＜0．
再分三种情形讨论：当m=0时，符合题意；当0＜m＜2时，空集； 当-2＜m＜0时，只需$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＞0\\ f（2）≤0\end{array}\right.$解得$-2＜m≤-\frac{2}{3}$．
③当-m≥2即m≤-2时，f（x）=x²+2mx+2m在区间（-2，2）是减函数，只需$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＞0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，解得m≤-2．
综上讨论，实数m的取值范围是$m≤-\frac{2}{3}$或m=0或m＞2．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．