Question

【题目】如图所示，在直三棱柱，其中P为棱上的任意一点，设平面PAB与平面的交线为QR．

(1)求证：AB∥QR；

(2)若P为棱上的中点，求几何体的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)由 可得AB//平面 ，利用线面平行性质定理可得结果；(2)由题意先明确平面，利用割补法求体积:几何体QR-ABC的体积为.

（1）在直三棱柱中，

因为，平面.平面，

所以AB//平面.

因为平面PAB与平面的交线为QR，且平面PAB，

所以AB∥QR.

（2）在侧面中，因为BC=2，，P为棱上的中点，

所以，

所以=∠PBC，所以，

即.

在直三棱柱中，平面ABC，

所以.

因为AB=BC=2，AC=，

所以，所以，

又，所以平面，

所以平面.

因为BC=2，.

所以

又，

所以，

因为，所以。

所以.

所以几何体QR-ABC的体积为

，

法二：在侧面中，因为BC=2，为棱上的中点，

则.

所以有，

所以，

则QR，RP，RC三线相互垂直.

又.

在△BPC中，由射影定理，可得

在△ABP中，由三角形相似，可得

则.

又.

则