Question

18．已知g′（x）是函数g（x）在R上的导数，对?x∈R，都有g（-x）=x²-g（x），在（-∞，0）上，g′（x）＞x，若g（3-t）-g（t-1）-4+2t≤0，则实数t的取值范围为t≥2．

Answer 1

分析 求出g（x）的奇偶性和单调性，得到关于t的不等式组，解出即可．

解答 解：令$f（x）=g（x）-\frac{1}{2}{x^2}$，
则f'（x）=g'（x）-x，
因为在（-∞，0）上，g'（x）＞x，∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上递增，
又$f（-x）=g（-x）-\frac{1}{2}{x^2}={x^2}-g（x）-\frac{1}{2}{x^2}=\frac{1}{2}{x^2}-g（x）=-f（x）$，
是奇函数，在R上是增函数．
$g（3-t）-g（t-1）=f（3-t）+\frac{1}{2}{（3-t）^2}-f（t-1）-\frac{1}{2}{（t-1）^2}$
=$f（3-t）-f（t-1）+\frac{1}{2}（8-4t）=f（3-t）-f（t-1）+4-2t$，
∴f（3-t）-f（t-1）≤0，即f（3-t）≤f（t-1），
∴3-t≤t-1，
∴t≥2，
故答案为：t≥2．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，考查转化思想以及不等式问题，是一道中档题．