Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）若，求m的取值范围．

Answer 1

（1）（2）（－1，－）∪（，1）∪｛0｝

（1）设C：＋＝1（a＞b＞0），设c＞0，c²＝a²－b²，由条件知a－c＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，
故C的方程为：　                  5′
（2）由＝λ，
∴λ＋1＝4，λ＝3　或O点与P点重合="             " 7′
当O点与P点重合=时，m=0
当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。
设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0
Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）＞0 （*）
x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　                          11′
∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴
消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0
整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                         13′
m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝＞0，∴－1＜m＜－ 或 ＜m＜1
容易验证k²＞2m²－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝                 16′