Question

已知命题p：存在x∈R，使x²-（a+1）x+a+4＜0；命题q：方程

x2

a-3

-

y2

a-6

=1表示双曲线．若命题“（￢p）∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：根据一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及双曲线的标准方程即可求出命题p，q下a的取值范围，然后由“（￢p）∧q”为真命题知p假q真，所以分别求出p假，q真时的a的取值范围再求交集即可．

解答： 解：由命题p知，不等式x²-（a+1）x+a+4＜0有解；
∴△=（a+1）²-4（a+4）＞0；
解得a＜-3，或a＞5；
由命题q知，（a-3）（a-6）＞0；
解得a＜3，或a＞6；
若命题“（￢p）∧q”为真命题，则：
￢p，q都是真命题；
∴p假命题，q真命题；
∴

-3≤a≤5 a＜3，或a＞6

；
∴-3≤a＜3；
∴实数a的取值范围为[-3，3）．

点评：考查一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，双曲线的标准方程中x²，y²系数的特点，以及（￢p）∧q真假和p，q真假的关系．