Question

13．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），（点P与点A，B不重合），则△PAB的面积最大值是（　　）

• A． $2\sqrt{5}$
• B． 5
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 动直线x+my=0，令y=0，解得x=0，因此此直线过定点A（0，0）．动直线mx-y-m+3=0，即m（x-1）+3-y=0，令x-1=0，3-y=0，可得此直线过定点B（1，3）．分类讨论：m=0时，两条直线分别为x=0，y=3，交点P（0，3），可得S_△PAB=$\frac{3}{2}$．m≠0时，两条直线的斜率分别为：-$\frac{1}{m}$，m，则-$\frac{1}{m}$×m=-1，因此两条直线相互垂直．
当PA=PB时，△PAB的面积取得最大值．即可得出．

解答 解：动直线x+my=0，令y=0，解得x=0，因此此直线过定点A（0，0）．
动直线mx-y-m+3=0，即m（x-1）+3-y=0，令x-1=0，3-y=0，解得x=1，y=3，因此此直线过定点B（1，3）．
m=0时，两条直线分别为x=0，y=3，交点P（0，3），S_△PAB=$\frac{1}{2}×1×3$=$\frac{3}{2}$．
m≠0时，两条直线的斜率分别为：-$\frac{1}{m}$，m，则-$\frac{1}{m}$×m=-1，因此两条直线相互垂直．
当PA=PB时，△PAB的面积取得最大值．
由$\sqrt{2}$PA=AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．解得PA=$\sqrt{5}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}P{A}^{2}$=$\frac{5}{2}$．
综上可得：△PAB的面积最大值是$\frac{5}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．