Question

14．函数f（x）=x²+2ax+a²在区间[-1，2]上的最大值是4，则实数a的值为0或-1．

Answer 1

分析 分二次函数f（x）的图象的对称轴比较靠近所给的闭区间的左侧、比较靠近所给的闭区间的右侧两种情况，分别利用二次函数的性质，结合函数的最大值为4，求得a的值，综合可得结论．

解答 解：∵函数f（x）=x²+2ax+a²=（x+a）²  在区间[-1，2]上的最大值是4，区间[-1，2]的中点为$\frac{1}{2}$，
二次函数f（x）的图象的图象的对称轴为x=-a，
当-a＜$\frac{1}{2}$时，即a＞-$\frac{1}{2}$ 时，f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（2）=4+4a+a²=4，a=0．
当-a≥$\frac{1}{2}$时，即a≤-$\frac{1}{2}$ 时，f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（-1）=1-2a+a²=4，求得a=-1，
综上可得，a=0或 a=-1，
故答案为：0或-1．

点评 本题主要考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．