Question

15．已知直线l₁：（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=0，圆C：x²+y²-6x-8y+9=0．
（1）判断直线l₁与圆的位置关系，并证明你的结论；
（2）直线l₂过直线l₁的定点且l₁⊥l₂，若l₁与圆C交与A，B两点，l₂与圆C交与E，F两点，求AB+EF的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线方程可整理为（x-2y+2）+（4x+3y-14）k=0，可得直线过定点；求出圆心C到点P（2，2）的距离，与半径比较，可得可得直线l₁与圆的位置关系；
（2）$AB+EF=2\sqrt{16-{d_2}^2}+2\sqrt{16-{d_1}^2}$，利用基本不等式，即可求AB+EF的最大值．

解答 解：（1）直线与圆相交…（2分）
证明：直线方程可整理为（x-2y+2）+（4x+3y-14）k=0
所以$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{4x+3y-14=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}}\right.$
所以直线过定点P（2，2）…（5分）
圆C方程可整理为（x-3）²+（y-4）²=16
因为圆心C到点P（2，2）的距离d为$d=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
由$d=\sqrt{5}＜4$，所以直线与圆C相交…（6分）
（2）设点C到直线AB，EF的距离分别为d₁，d₂（d₁，d₂≥0）
则$d_1^2+d_2^2=5$…（8分）
又$AB=2\sqrt{16-{d_1}^2}，EF=2\sqrt{16-{d_2}^2}$
所以$AB+EF=2\sqrt{16-{d_2}^2}+2\sqrt{16-{d_1}^2}$…（10分）
则$\begin{array}{l}{（AB+EF）^2}={（2\sqrt{16-{d_2}^2}+2\sqrt{16-{d_1}^2}）^2}\end{array}$=$4（16-{d_1}^2+16-{d_2}^2+2\sqrt{16-{d_1}^2}•\sqrt{16-{d_2}^2}）$
=$4（27+2\sqrt{256-16（d_1^2+d_2^2）+d_1^2•d_2^2}$
=$4（27+2\sqrt{176+d_1^2•d_2^2}$…（12分）
又因为$2d_1^{\;}d_2^{\;}≤d_1^2+d_2^2=5$
所以$d_1^2d_2^2≤\frac{25}{4}$（当且仅当$d_1^{\;}={d_2}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$时取到等号）…（14分）
所以 $\sqrt{176+d_1^2•d_2^2}≤\sqrt{176+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{729}{4}}=\frac{27}{2}$
所以${（AB+EF）^2}≤4（27+2×\frac{27}{2}）=216$
所以$AB+EF≤6\sqrt{6}$
所以AB+EF的最大值为$6\sqrt{6}$…（16分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．