(本题满分13分)
如图,棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P—CD—B余弦值的大小
(3)求点C到平面PBD的距离.
⑴见解析;(2);(3)。
解析试题分析:方法一:⑴证:在Rt△BAD中,AD=2,BD=, ∴AB=2,ABCD为正方形,因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,BDÌ平面ABCD,∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC.
解:(2)由PA⊥面ABCD,知AD为PD在平面ABCD的射影,又CD⊥AD, ∴CD⊥PD,
知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD,∴∠PDA=450 . 二面角P—CD—B余弦值为。
(3)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= ,设C到面PBD的距离为d,
由,有,即,得
方法二:证:(1)建立如图所示的直角坐标系,
则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).………………2分
在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0),
∴
∵,即BD⊥AP,BD⊥AC,又AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. …………4分
解:(2)由(1)得.
设平面PCD的法向量为,则,
即,∴ 故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD,∴为平面ABCD的法向量. ……………………………7分
设二面角P—CD—B的大小为q,依题意可得 . ……………………………9分
(3)由(Ⅰ)得,设平面PBD的法向量为,
则,即,∴x=y=z,故可取为. ………11分
∵,∴C到面PBD的距离为 …………………13分
考点:本题考查直线与平面垂直的判定定理;线面垂直的性质定理;向量法求空间角; 点、线、面间的距离计算。
点评:综合法求二面角,往往需要作出平面角,这是几何中一大难点,而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可,从而体现了空间向量的巨大作用.二面角的向量求法: ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角; ②设分别是二面角的两个面α,β的法向量,则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长; (2)求cos< >的值; (3)求证:A1B⊥C1M.
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(本题满分12分)如图,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥面ABCD,PA=2,AB=8,BC=6,点E是PC的中点,F在AD上且AF:FD=1:2.建立适当坐标系.
(1)求EF的长;
(2)证明:EF⊥PC.
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如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点
(I)求证:平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(III)求点E到平面ACD的距离。
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(本小题满分13分)
如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中, , , , ,点是的中点.
(Ⅰ) 求证:∥平面;
(Ⅱ)求AC1与平面CC1B1B所成的角.
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(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,底面,四边形中, ,, ,,E为中点.
(1)求证:CD⊥面PAC;(2)求:异面直线BE与AC所成角的余弦值;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
本小题满分12分)
已知三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,
N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(I)证明:CM⊥SN;(II)求SN与平面CMN所成角的大小.
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