【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点
为棱
的中点,点
为线段
上一动点.
(Ⅰ)求证:当点为线段
的中点时,
平面
;
(Ⅱ)设,试问:是否存在实数
,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?若存在,求出这个实数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(2)或
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连、
,由题意可证得
.又在
平面
,从而可得
平面
.(Ⅱ)由题意可建立空间直角坐标系
,结合条件可得
,从而可得平面
的法向量
,同理可得平面
的法向量
,根据
解得
或
,故存在实数满足条件.
试题解析:
(Ⅰ)证明:连、
,
∵点为线段
的中点,
∴、
、
三点共线.
∵点、
分别为
和
的中点,
∴.
在直三棱柱中,
,
∴平面
,
∴,
又,
∴四边形为正方形,
∴,
∵、
平面
,
∴平面
,
而,
∴平面
.
(Ⅱ)解:以为原点,分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,
连接、
,设
,
∵,
∴,
∴,∴
.
∵点在线段
上运动,
∴平面的法向量即为平面
的法向量,
设平面的法向量为
,
由得
,令
得
,
设平面的法向量为
,
由得
,
令得
,取
,
由题意得|
,
∴,
解得或
.
∴当或
时,平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
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【题目】如图,椭圆的左、右焦点分别为
,
轴,直线
交
轴于
点,
,
为椭圆
上的动点,
的面积最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过点作两条直线与椭圆
分别交于
,且使
轴,问四边形
的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率与双曲线
=1的一条渐近线的斜率相等以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sin
·x+cos
·y-l=0相切(
为常数).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(3,0)的直线与椭圆C相交TA,B两点,设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当
时,求实数t取值范围.
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”, 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据:
(1)请利用所给数据求违章人数与月份
之间的回归直线方程
,并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数;
(2)若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中,采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本,再从这7人中任选2人进行交规调查,求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式: ,
.
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【题目】已知圆C: .
(1)若直线在y轴上的截距为0且不与x轴重合,与圆C交于
,试求直线
:
在x轴上的截距;
(2)若斜率为1的直线与圆C交于D,E两点,求使
面积的最大值及此时直线
的方程.
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【题目】“大数据”时代的到来,人工智能的应用已在各个领域内得到了认可与大力推广,人工智能AI教育也相应在北京、上海等大城市普及、某教育总公司开发了一款专门针对于中小学语数英教学的应用程序,据研究发现,题库总量(单位:万,
)与成本
(单位:万元)的关系由两部分构成:
①固定成本:总计万元;
②浮动成本:万元.
(1)该公司题库总量为多少时,可使得每题的平均成本费用最低?最低费用为多少?
(2)公司将该软件投放市场寻求加盟合作伙伴,加盟费为万元,加盟人数与题库量满足一次关系
,已知当题库量为
万时,此时加盟人数为
,公司总利润
(单位:万元)达到最大值.试求
、
的值.(注:总利润=加盟费-成本).
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【题目】(本小题满分12分)已知椭圆(
)的半焦距为
,原点
到经过两点
,
的直线的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)如图,是圆
的一条直径,若椭圆
经过
,
两点,求椭圆
的方程.
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【题目】中国海军,正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军.在中国海军加快建设的大背景下,国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化,特别是国产航空母舰下水,航母需要大量高素质航母舰载机飞行员.为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员.2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员,有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防,经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选,最终招收50名学员.培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质,要求每月至少参加一次野营拉练活动(下面简称“活动”),这批海航班学员在10月参加活动的次数统计如图所示:
(1)从海航班学员中任选2名学员,求他们10月参加活动次数恰好相等的概率;
(2)从海航班学员中任选2名学员,用表示这两学员10月参加活动次数之差绝对值,求随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事:“今有良马与驽马发长安,至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里,日增一十二里;驽马初日行九十七里,日减二里.” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和,设计框图如下图. 若输出的 的值为 360,则判断框中可以填( )
A. B.
C.
D.
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