Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F，B，C三点作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m+n≤0时，椭圆的离心率的取值范围．
（Ⅱ）直线AB能否和圆P相切？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用圆心是两条弦的中垂线的交点，可求圆心坐标，注意a²-b²=c²．
（2）假设相切，运用两点表示的斜率公式求出k_AB^和k_PB，则k_AB•k_PB=-1，由此推出c²=2ac，这与0＜c＜a矛盾．

解答：解：（Ⅰ）由题意FC，BC的中垂线方程分别为x=

a-c

2

，y-

b

2

=

a

b

(x-

a

2

)，
于是圆心坐标为(

a-c

2

，

b2-ac

2b

)．（4分）
m+n=

a-c

2

+

b2-ac

2b

≤0，即ab-bc+b²-ac≤0，
即（a+b）（b-c）≤0，所以b≤c，于是b²≤c²＞c^即a²≤2c²，
所以e2≥

1

2

，又0＜e＜1，∴

2

2

≤e＜1．（7分）
（Ⅱ）假设相切，则k_AB•k_PB=-1，（9分）
∵kPB=

b- b2-ac 2b

0- a-c 2

=

b2+ac

b(c-a)

，kAB=

b

a

，∴kPB•kAB=

b2+ac

a(c-a)

=-1，（11分）
∴a²-c²+ac=a²-ac，即c²=2ac，∵c＞0，∴c=2a这与0＜c＜a矛盾．
故直线AB不能与圆P相切．（13分）

点评：本题主要考查直线与圆、椭圆的位置关系以及分析问题与解决问题的能力．