Question

已知函数f（x）=ax³+（a-1）x²+27（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f（x）在区间[-4，5]上的单调性，并求出f（x）在区间[-4，5]上的最值．

Answer 1

分析：根据函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，求得a、b的值，可得f（x）的解析式，再利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值．

解答：解：∵函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，所以，f（0）=b=0，且a-1=0，
解得a=1，b=0，于是f（x）=x³-27x，f′（x）=3x²-27．
∴当x∈（-3，3）时，f′（x）＜0；当x∈（-4，-3）和（3，5）时，f′（x）＞0．
又∵函数f（x）在[-4，5]上连续．
∴f（x）在（-3，3）上是单调递减函数，在（-4，-3）和（3，5）上是单调递增函数．
∴f（x）的最大值是54，f（x）的最小值是-54．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用、函数的单调性的判断和证明，属于中档题．