Question

4．给出下列命题：①若a＜b＜0，则$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$；②若a＞0，b＞0，则$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$；③若a＜b＜0，则a²＞ab＞b²；④lg9•lg 11＜1；⑤若a＞b，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$，则a＞0，b＜0；⑥正数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，则x+2y的最小值为6．其中正确命题的序号是②③④⑤．

Answer 1

分析 利用不等式的性质与基本不等式对①②③④⑤⑥逐项判断即可．

解答 解：①若a＜b＜0，则$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$，故①错误；
②若a＞0，b＞0，则$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$（当且仅当a=b时取等号）；
又$\sqrt{ab}$-$\frac{ab}{a+b}$=$\sqrt{ab}$（1-$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$）≥$\sqrt{ab}$（1-$\frac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}$）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{ab}$＞0≥0，
所以$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$，综上，$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$，故②正确；
③若a＜b＜0，则a²＞ab＞0，ab＞b²＞0，
因此，a²＞ab＞b²，故③正确；
④lg9•lg 11＜（$\frac{lg9+lg11}{2}$）²=${（\frac{lg99}{2}）}^{2}$＜${（\frac{lg100}{2}）}^{2}$=1，故④正确；
⑤若a＞b，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$?$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$＞0?$\frac{b-a}{ab}$＞0?$\frac{a-b}{ab}$＜0，则ab＜0，所以a＞0，b＜0，故⑤正确；
⑥正数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，则x+2y=（x+2y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=1+2+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$，故其最小值为3+2$\sqrt{2}$，故⑥错误．
综上所述，正确命题的序号是：②③④⑤，
故答案为：②③④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，突出考查不等式的性质与基本不等式的应用，属于中档题．