Question

已知数列{a_n}和{b_n}，满足a_k+1=a_k+b_k，k=1，2，3，…．若存在正整数N，使得a_N=a₁成立，则称数列{a_n}为N阶“还原”数列．下列条件：
①|b_k|=1；
②|b_k|=k；
③|b_k|=2^k，
可能使数列{a_n}为8阶“还原”数列的是（　　）

• A、①
• B、①②
• C、②
• D、②③

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由a_k+1=a_k+b_k，得a_k+1-a_k=b_k，然后对三个b_k逐一验证可得只有|b_k|=k时有可能得到a₈=a₁成立，则答案可得．

解答： 解：由a_k+1=a_k+b_k，得
a_k+1-a_k=b_k，则
a₂-a₁=b₁，
a₃-a₂=b₂，
a₄-a₃=b₃，
a₅-a₄=b₄，
a₆-a₅=b₅，
a₇-a₆=b₆，
a₈-a₇=b₇．
累加得：a₈-a₁=b₁+b₂+…+b₇．
若|b_k|=1，即b_k=±1，
则b₁+b₂+…+b₇≠0，
∴a₈≠a₁；
若|b_k|=k，即b_k=±k，
则b₁+b₂+…+b₇=1-2+3+4-5+6-7=0，
∴a₈=a₁成立，即|b_k|=k时可能使数列{a_n}为8阶“还原”数列；
若|b_k|=2^k，即bk=±2k．
∵2¹+2²+…+2⁶＜2⁷，
∴b₁+b₂+…+b₇≠0，
即|b_k|=2^k时，不可能使数列{a_n}为8阶“还原”数列．
故选：C．

点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法，关键是对题意的理解，是中档题．