Question

已知y=f（x）是奇函数，在（-∞，0）上是增函数，且f（x）＞0；求它在（0，+∞）上的单调性及f（x）的符号正负．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数的奇偶性，得到f（-x）=-f（x），将函数f（x）在（0，+∞）上的问题转化到（-∞，0），利用条件：y=f（x）是奇函数，在（-∞，0）上，f（x）是增函数，且f（x）＞0，得到本题结论．

解答： 解：∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
（1）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴0＞-x₁＞-x₂，
∵函数y=f（x）在（-∞，0）上是增函数，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∴-f（x₁）＞-f（x₂），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调增函数．
（2）当x＞0时，-x＜0，
∵在（-∞，0）上f（x）＞0，
∴f（-x）＞0，
∴-f（x）＞0，
∴f（x）＜0．
∴在（0，+∞）上，数f（x）单调递增且f（x）＜0．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度不大，属于基础题．