Question

平面向量

a

，

b

，

e

满足：|

e

|=1，

a

•

e

=1，

.

b

•

e

=2，|

a

-

b

|=3，则

.

a

•

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：由|

e

|=1，不妨设

e

=（1，0）．由

a

•

e

=1，

.

b

•

e

=2，可设

a

=（1，m），

b

=（2，n）．利用|

a

-

b

|=3可得

1+(m-n)2

=3，（m+n）²=8+4mn≥0，再利用数量积运算

a

•

b

=2+mn即可得出．

解答： 解：由|

e

|=1，不妨设

e

=（1，0），
由

a

•

e

=1，

.

b

•

e

=2，
可设

a

=（1，m），

b

=（2，n），
则

a

-

b

=（-1，m-n），
|

a

-

b

|=

1+(m-n)2

=3，
即有（m+n）²=8+4mn，
由（m+n）²≥0，解得，mn≥-2．
当且仅当m=-n=±

2

取得等号．
则

a

•

b

=2+mn≥0．
故答案为：0．

点评：本题考查了通过坐标法解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力．