Question

设函数f（x）=[2sin（ωx+

π

4

）+

2

sinωx]cosωx-

2

sin²ωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=

13

7

，且x₀∈（1，3），求f（x₀-1）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由条件求得f（x）=2sin（2ωx+

π

4

），求得BC=4，可得函数的周期为8，由此求得ω的值以及函数的值域．
（Ⅱ）由条件求得sin(

π

4

x0+

π

4

)=

13

14

，由x₀∈（1，3），可得

π

4

x0+

π

4

∈(

π

2

，π)，求得cos(

π

4

x0+

π

4

)=-

3 3

14

．再由f（x₀-1）=2sin[（

π

4

x₀+

π

4

）-

π

4

]利用两角差的正弦公式计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得f(x)=

2

sin2ωx+

2

cos2ωx=2sin(2ωx+

π

4

)，
∵A为图象最高点，△ABC为等腰直角三角形，∴BC=4，故函数的周期为8，
∴

2π

2ω

=8，∴ω=

π

8

，∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

），且f（x）的值域为[-2，2]．
（Ⅱ）若f（x₀）=

13

7

，即sin(

π

4

x0+

π

4

)=

13

14

，
∵x₀∈（1，3），∴

π

4

x0+

π

4

∈(

π

2

，π)，∴cos(

π

4

x0+

π

4

)=-

3 3

14

．
∴f（x₀-1）=2sin[

π

4

（x₀-1）+

π

4

]=2sin

π

4

x₀=2sin[（

π

4

x₀+

π

4

）-

π

4

]
=2sin（

π

4

x₀+

π

4

）cos

π

4

-2cos（

π

4

x₀+

π

4

）sin

π

4

=2×

13

14

×

2

2

-2×（-

3 3

14

）×

2

2

=

13 2 +3 6

14

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式的应用，属于基础题．