Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F₁B与y轴相交于点D，若AD⊥F₁B，则椭圆C的离心率等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F₁B，建立方程关系即可得到结论．

解答： 解：连接AF₁，∵OD∥AB，O为F₁F₂的中点，
∴D为BF₁的中点，
又AD⊥BF₁，∴|AF₁|=|AB|．
∴|AF₁|=2|AF₂|．
设|AF₂|=n，则|AF₁|=2n，|F₁F₂|=

3

n，
∴e=

c

a

=

|F1F2|

|AF1|+|AF2|

=

3 n

3n

=

3

3

．

点评：本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．