Question

10．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²在（0，2）内任取两个实数m，n，且m≠n，不等式$\frac{f（m+1）-f（n+1）}{m-n}$＞1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [6，+∞）
• B． [15，28]
• C． [15，+∞）
• D． [28，+∞）

Answer 1

分析 转化为在区间（1，3）内，恒有f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x＞1，即a＞2x²+3x+1，x∈（1，3），根据二次函数的性质可得．

解答 解：∵函数f（x）=aln（x+1）-x²，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x，
∵在区间（0，2）内任取两个实数m，n，且m≠n，
若不等式 $\frac{f（m+1）-f（n+1）}{m-n}$＞1恒成立，
∴在区间（1，3）内，恒有f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x＞1，
即令g（x）=2x²+3x+1，x∈（1，3），
根据二次函数的性质可得g（x）_max=g（3）=28，
∴a≥28，
故选：D．

点评 本题考查了函数的性质，导数的运用，结合不等式恒成立问题求解．