Question

20．已知数列{a_n}中，a_n=2a_n-1+n（n≥2，n∈N）．
（1）{a_n}是否可能为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式；若不可能，说明理由；
（2）设b_n=（-1）ⁿ（a_n+n+2），S_n为数列{b_n}的前n项和，且对于任意的n∈N^*，n≤10，都有S_n＜1，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a₂，a₃，a₄，假设{a_n}为等比数列，可知a₁，a₂，a₃成等比数列，（2a₁+2）²=a₁•（4a₁+7），即可求得a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，a₄=-14，可知{a_n}不可能为等比数列；
（2）由题意可知：求得a_n和a_n+1，代入求得b_n+1=-2b_n，由等比数列通项公式求得S_n=$\frac{-（{a}_{1}+3）[1-（-2）^{n}]}{3}$，分类当n为奇数和偶数时，分别求得a₁的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：a_n+1=2a_n+n+1，
得a₂=2a₁+2，a₃=4a₁+7，a₄=8a₁+18，
若{a_n}为等比数列．则a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴（2a₁+2）²=a₁•（4a₁+7），解得：a₁=-4，
a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，a₄=-14，不成等比数列，
∴{a_n}不可能为等比数列；
（2）∵b_n=（-1）ⁿ（a_n+n+2），
∴a_n=（-1）ⁿb_n-n-2，a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹b_n+1-n-3，
将其代入a_n+1=2a_n+n+1，
（-1）ⁿ⁺¹b_n+1-n-3=2[（-1）ⁿb_n-n-2]+n+1，
整理得：b_n+1=-2b_n，其中b₁=-（a₁+3），
当a₁=-3时，b_n=0，S_n=0符合题意，
当a₁≠-3时，
数列{b_n}是以b₁=-（a₁+3）为首项，以-2为公比的等比数列，
∴S_n=$\frac{-（{a}_{1}+3）[1-（-2）^{n}]}{3}$，
当n为偶数时，且n≤10时，
由S_n＜1，可得$\frac{-（{a}_{1}+3）（1-{2}^{n}）}{3}$＜1，
∴-（a₁+3）＞$\frac{3}{1-{2}^{\\;n}}$，
∴-（a₁+3）＞$\frac{3}{1-{2}^{10}}$，解得：a₁＜-$\frac{1022}{341}$，
当n为奇数时，且n≤10，
由S_n＜1，$\frac{-（{a}_{1}+3）（1+{2}^{n}）}{3}$＜1，
∴-（a₁+3）＞$\frac{3}{1+{2}^{\\;n}}$，
∴-（a₁+3）＜$\frac{3}{1+{2}^{9}}$，
解得：a₁＞-$\frac{571}{171}$，
综上，a₁的取值范围为（-$\frac{571}{171}$，-$\frac{1022}{341}$）

点评 本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查数列与不等式相结合，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题．