Question

7．已知圆N经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．
（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（Ⅱ）求出N（2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5），即可得到圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程；
（Ⅲ）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有$\sqrt{{{（a-3）}^2}+{{（3a-2-1）}^2}}=\sqrt{{{（a+1）}^2}+{{（3a-2-3）}^2}}$，解得：a=2．
于是圆N的圆心N（2，4），半径$r=\sqrt{{{（a-3）}^2}+{{（3a-2-1）}^2}}=\sqrt{10}$．
所以，圆N的方程为（x-2）²+（y-4）²=10．（5分）
（Ⅱ）N（2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5），
所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为（x-1）²+（y-5）²=10（9分）
（Ⅲ）设M（x，y），D（x₁，y₁），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+3}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+0}}{2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2x-3\\{y_1}=2y\end{array}\right.$．
又点D在圆N：（x-2）²+（y-4）²=10上，所以有（2x-3-2）²+（2y-4）²=10，
化简得：${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-2）^2}=\frac{5}{2}$．
故所求的轨迹方程为${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-2）^2}=\frac{5}{2}$．（13分）

点评 本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．