Question

【题目】设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.

（1）当时，求点的坐标；

（2）当有最小值时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：（1）设点的横坐标为，得点的坐标，利用定积分求解，利用，求得的值，即可求得点的坐标．

（2）由（1）可求当，化简后，为的函数，再利用导数求得的最小值．

详解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），

直线OP的方程为y=tx

S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，

因为S1=S2，，所以，点P的坐标为

（2）S=S1+S2=

S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=

因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0

所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．