Question

1．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，S₃=9，并且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+8lo{g}_{3}{b}_{n}}{{a}_{n+1}{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和M．

Answer 1

分析 （1）列方程组计算a₁和公差d，得出a_n，利用b_n+1=T_n+1-T_n得出b_n+1，从而得出b_n；
（2）化简c_n，使用错位相减法计算M_n．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
∵S₃=9，并且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3a}_{1}+3d=9}\\{（{a}_{1}+4d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+13d）}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵T_n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），∴T_n+1=$\frac{3}{2}$（3ⁿ⁺¹-1），
∴b_n+1=T_n+1-T_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ⁺¹-3ⁿ）=3•3ⁿ=3ⁿ⁺¹．
∴b_n=3ⁿ．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+8lo{g}_{3}{b}_{n}}{{a}_{n+1}{b}_{n}}$=$\frac{（2n-1）^{2}+8n}{（2n+1）•{3}^{n}}$=$\frac{（2n+1）^{2}}{（2n+1）•{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，
∴M_n=$\frac{3}{3}$+$\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{7}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，①
∴$\frac{1}{3}$M_n=$\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+$\frac{7}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$，②
①-②得：$\frac{2}{3}$M_n=1+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+$\frac{2}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$=1+$\frac{\frac{4}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{5}{3}$-$\frac{2n+7}{{3}^{n+1}}$，
∴M_n=$\frac{5}{2}$-$\frac{2n+7}{2•{3}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，求和公式，错位相减法求和，属于中档题．