Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃=8．
（1）若b_n=log₂a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=

bn

an

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等比数列的通项公式求出公比，从而an=2n(n∈N*)，进而b_n=log₂a_n=log22n=n．
（2）由cn=

n

2n

(n∈N*)，利用错位相减法能求出Sn=2-

n+2

2n

．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意知q＞0且q2=

a3

a1

=4，∴q=2（2分）
∴an=2n(n∈N*)．
∴b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴数列{b_n}的通项公式为bn=n(n∈N*)（5分）
（2）∵c_n=

bn

an

（n∈N^*），∴cn=

n

2n

(n∈N*)，
∴数列{c_n}的前n项和为：Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①（6分）
在①式两边都乘以

1

2

得：

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

  ②（8分）
①-②得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

（10分）
∴Sn=2-

n+2

2n

（12分）

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．